Product of two K-distributions applications in automatic ship detection based on satellite SAR

Abstract

In ship detection based on satellite Synthetic Aperture Radar (SAR) images, the intensity of the sea surface backscatter is modeled as a stochastic variable. For a single-polarization channel the K-distribution serves as a statistical model for the backscatter. Combining two channels by considering the product of the received intensities, it is desirable to determine a model for this new variable. The main focus of this report is therefore to derive the probability distribution of the product of two independent K-distributed variables. By recognizing that a K-distributed variable is itself a product of two gamma-distributed variables, a four-product of gamma variables is considered instead. This distribution is determined by the means of the Mellin transform, which allows us to determine the distribution in general of an arbitrary product of such variables. Necessary background theory is presented before utilizing the transform. Although no explicit formula is derived, an implicit form is obtained and finally expressed in terms of the Meijer G-function. The subsequent sections present a method to evaluate the distribution and produce look-up tables for the threshold values in the ship detection hypothesis test. Code and look-up tables are provided in Appendix A and B. Finally, possible caveats of the look-up tables are discussed, especially the sparseness of the parameter sets involved and the related accuracy of the threshold values. Some suggestions are made to improve upon the effective accuracy of the threshold values. Further investigation is required to improve the effective accuracy. It also remains to investigate whether in fact combining two channels in a product is a more effective tool in ship detection rather than analyzing the signals from the channels separately.

I skipsdeteksjon basert på SAR-bilder (syntetisk apertur-radar) er intensiteten til sjøoverflatestøy modellert som en stokastisk variabel. For en enkelt polarisasjonskanal fungerer K-fordelingen som en statistisk modell for sjøstøyen. Når to kanaler kombineres ved å vurdere produktet av mottatt intensitet, er det av interesse å utlede en modell for den nye sammenslåtte kanalen. Hovedfokuset i denne rapporten er derfor å utlede sannsynlighetsfordelingen til produktet av to uavhengige K-fordelte variabler. Ved å erkjenne at en K-fordelt variabel selv er et produkt av to gamma-fordelte variabler, har vi derfor tatt tatt utgangspunkt i et fire-produkt av gamma-fordelte variabler i stedet. Denne fordelingen er bestemt ved hjelp av Mellin-tranformasjonen, som tillater oss å bestemme fordelingen til et vilkårlig produkt av slike variabler. Nødvendig bakgrunnsteori blir presentert før transformasjonen anvendes. Selv om ingen eksplisitt formel blir utledet, er fordelingen gitt på implisitt form, og til slutt uttrykt ved hjelp av Meijer G-funksjonen. De påfølgende seksjonene presenterer en metode for å evaluere fordelingen og produsere tabellverk for terskelverdier i hypotesetesten ved skipsdeteksjon. Koden og tabellverket er tilgjengelig som vedlegg. Til slutt blir mulige utfordringer knyttet til tabellverket diskutert, spesielt spredningen av parameterverdiene relatert til presisjonen av beregnede terskelverdier. Enkelte forslag for å forbedre den effektive presisjonen til terskelverdiene blir presentert. Videre undersøkelser vil være nødvendig for å forbedre den effektive presisjonen. Det gjenstår også å undersøke om det å kombinere to kanaler til ett produkt er et mer effektivt verktøy for skipsdeteksjon fremfor å analysere signalene fra kanalene separat.